Вашему вниманию предлагается забавная головоломка: насколько большой должна быть случайная группа людей, чтобы с вероятностью 50% по крайней мере у двоих из них оказался общий день рождения? Ответ — 23, что многих удивляет. Как это возможно?
Размышляя над этим вопросом, известным в статистике как «проблема дня рождения» или «парадокс дней рождения», многие люди интуитивно предполагают 183, поскольку это половина всех возможных дней рождения, учитывая, что в году обычно 365 дней. К сожалению, интуиция часто плохо справляется с такого рода статистическими задачами.
Изображение: Unsplash/@pictoria1999
«Мне нравятся такие типы задач, потому что они показывают, как люди, в большинстве случаев, плохо разбираются в вероятностях, что приводит их к принятию неправильных решений или к неправильным выводам, — говорит Джим Фрост (Jim Frost), статистик, написавший три книги о статистике, и постоянный обозреватель в American Society of Quality’s Statistics Digest. — Кроме того, они показывают, насколько полезной может быть математика для улучшения нашей жизни. Но помимо того, что парадоксальные результаты этих задач забавны, они также служат определённой цели.»
Чтобы вычислить ответ на задачу о дне рождения, Фрост начал с нескольких предположений. Во-первых, он проигнорировал високосные годы, так как это упрощает математику и не сильно влияет на результаты. Он также предположил, что все дни рождения имеют равные шансы случиться.
Если вы начинаете с группы из двух человек, вероятность того, что у первого человека день рождения не совпадает со вторым, составляет 364/365. Таким образом, вероятность того, что у них общий день рождения, составляет 1 минус (364/365), или вероятность около 0,27%.
Если вы предполагаете, что группа состоит из трёх человек, то первые два человека охватывают две даты. Это означает, что вероятность того, что у третьего человека не будет общего дня рождения с двумя другими, равна 363/365. Таким образом, вероятность того, что у всех у них общий день рождения, равна 1 минус произведение (364/365) умноженное на (363/365), или вероятность около 0,82%.
Чем больше людей в группе, тем больше шансов, что хотя бы у пары из них день рождения будет совпадать. Фрост отметил, что при наличии 23 человек шанс составляет 50,73%. При наличии же 57 человек вероятность равна 99%.
«Я получил сообщение от профессоров статистики из колледжа, который готов делать ставку в размере 20 долларов на то, что на определённом уроке статистики у двух человек окажется общий день рождения, — сказал Фрост. — Учитывая вероятность, связанную с проблемой дня рождения, он знает, что практически гарантированно выиграет. Но каждый семестр студенты всё равно всегда заключают пари и проигрывают! К счастью, он говорит, что возвращает им их деньги, но потом показывает им, как решается парадокс дней рождения.»
Может быть несколько причин, по которым ответ на проблему дня рождения кажется нелогичным. По словам Фроста, одна из них заключается в том, что люди могут бессознательно подсчитывать, какова вероятность того, что у кого-то ещё в группе день рождения, в отличие от фактического вопроса, который заключается в том, есть ли у кого-то в группе общий день рождения.
«Во-вторых, я думаю, что они также начинают с чего-то вроде: ну, в году 365 дней, так что вам, вероятно, нужно около 182 человек для 50% вероятности, — сказал Фрост. — Но самое главное, они значительно недооценивают, насколько быстро вероятность увеличивается с увеличением размера группы. Количество возможных пар увеличивается экспоненциально с увеличением размера группы. И люди ужасны, когда дело доходит до понимания экспоненциального роста.»
Парадокс дня рождения концептуально связан с другим парадоксом экспоненциального роста, отметил Фрост.
«Предположим, в обмен на какую-то услугу, вам предлагают заплатить 1 цент в первый день, 2 цента во второй день, 4 цента в третий, 8 центов, 16 центов и так далее в течение 30 дней, — сказал Фрост. — Это хорошая сделка? Большинство людей думают, что это плохая сделка, но благодаря экспоненциальному росту на 30-й день у вас окажется в общей сложности 10,7 миллиона долларов.»
